خبر نامه شب تاب در این شب سیاهم گم گشت راه مقصود – از گوشه‌ای برون آی ای کوکب هدایت.
به این عدد نگاه کنید: ۶۱۷۴
در نگاه اول خیلی مهم به نظر نمی‌رسد – اما از سال ۱۹۴۹ به این طرف ذهن ریاضیدانان و علاقه‌مندان به اعداد را درگیر خود کرده است.
اما چرا؟
مراحل زیر را به دقت دنبال کنید تا متوجه شوید:
۱. یک عدد چهار رقمی انتخاب کنید، اما حواستان باشد که حداقل یکی از ارقامش نباید تکراری باشد – مثلا ۱۲۳۴
۲. ارقام را به ترتیب از بزرگ به کوچک مرتب کنید: ۴۳۲۱
۳. حالا آن‌ها را از کوچک به بزرگ مرتب کنید: ۱۲۳۴
۴. عدد کوچک را از عدد بزرگ کم کنید: ۱۲۳۴ – ۴۳۲۱
۵. حالا مرحله ۲، ۳ و ۴ را با جواب این تفریق تکرار کنید.
بگذارید با هم انجام دهیم:
۳۰۸۷ = ۱۲۳۴ – ۴۳۲۱
ارقام را از بزرگ به کوچک مرتب می‌کنیم: ۸۷۳۰
سپس آن‌ها را از کوچک به بزرگ مرتب می‌کنیم: ۰۳۷۸
بعد عدد کوچک را از عدد بزرگ کم می‌کنیم: ۸۳۵۲ = ۰۳۷۸ – ۸۷۳۰
حالا بیایید این سه مرحله را با این جواب آخر تکرار کنیم. عدد ۸۳۵۲ را در نظر بگیرید.
۶۱۷۴ = ۲۳۵۸ – ۸۵۳۲
و اگر این کار را با ۶۱۷۴ تکرار کنیم – یعنی ابتدا از بزرگ به کوچک و سپس از کوچک به بزرگ مرتب کنیم و سپس عدد کوچک را از عدد بزرگ کم کنیم…
۶۱۷۴ = ۱۴۷۶ – ۷۶۴۱
می‌بینید؟ تکرار مجدد این مراحل از این نقطه به بعد بیهوده است – عملیات مشابه به نتیجه مشابه ختم می‌شود: ۶۱۷۴
خب، شاید فکر کنید تصادفی بوده باشد. بیایید با یک عدد دیگر امتحان کنیم. ۲۰۰۵ چطور است؟
۵۱۷۵ = ۰۰۲۵ – ۵۲۰۰
۵۹۹۴ = ۱۵۵۷ – ۷۵۵۱
۵۳۵۵ = ۴۵۹۹ – ۹۹۵۴
۱۹۹۸ = ۳۵۵۵ – ۵۵۵۳
۸۰۸۲ = ۱۸۹۹ – ۹۹۸۱
۸۵۳۲ = ۰۲۸۸ – ۸۸۲۰
۶۱۷۴ = ۲۳۵۸ – ۸۵۳۲
۶۱۷۴ = ۱۴۶۷ – ۷۶۴۱
انگار فرقی نمی‌کند که کدام عدد چهار رقمی را انتخاب کرده باشید، دیر یا زود بالاخره به عدد ۶۱۷۴ می‌رسید و از آن نقطه به بعد اعمال ریاضی مشابه به نتیجه مشابه ختم می‌شود.
ثابت کاپرکار
تبریک می‌گویم، شما حالا با ثابت کاپرکار آشنا شده‌اید. داتاتریا رامچاندرا کاپرکار (۱۹۸۶ – ۱۹۰۵)، ریاضی‌دان هندی، علاقه زیادی به بازی با اعداد داشت و در جریان همین بازی‌ها بود که زیبایی اسرارآمیز ۶۱۷۴ را کشف کرد.
او که به گفته خودش معتاد تئوری اعداد بود، در جریان یک کنفرانس ریاضی که در سال ۱۹۴۹ در شهر مدرس هند برگزار می‌شد از این کشف پرده‌برداری کرد.
او می‌گفت “فرد دائم‌الخمر می‌خواهد برای حفظ حال خوبش تا ابد شراب بنوشد. وقتی پای اعداد در میان باشد من هم چنین حالی دارم.”
او دانش‌آموخته دانشگاه مومبای (بمبئی) بود و در یکی از مدرسه‌های شهر کوچک دولالی که در تپه‌های شمال شهر قرار دارد ریاضی درس می‌داد.
ریاضیدانان هندی کارهای او را بی‌اهمیت و بدیهی به حساب می‌آوردند و یافته‌هایش را مسخره می‌کردند و نادیده می‌گرفتند، اما او مقاله‌نویس پرکاری بود که بیشتر در مجلات علمی عامه‌پسند می‌نوشت.
از او در عین حال برای شرکت در کنفرانس‌های مختلف یا سخنرانی در مدرسه‌ها و دانشگاه‌ها دعوت می‌شد تا مشاهدات عددی جذاب و شیوه‌های عجیب خود را با شنوندگان در میان بگذارد.
جوجه را آخر پاییز می‌شمارند
ایده‌های کاپرکار به تدریج در داخل و خارج کشور مورد توجه قرار گرفت و مارتین گاردنر، نویسنده موفق آمریکایی و علاقه‌مند به ریاضی، در مجله علمی عامه‌پسند ساینتیفیک آمریکن مقاله‌ای درباره او نوشت.
امروزه کاپرکار و کشفیاتش در سراسر دنیا به رسمیت شناخته می‌شوند و ریاضیدانان روی آن‌ها کار می‌کنند – مخصوصا کسانی که مثل او علاقه سیری‌ناپذیری به بازی با اعداد دارند.
یوتاکا نیشی‌یاما، استاد دانشگاه اقتصاد اوساکا، می‌گوید “عدد ۶۱۷۴ عدی واقعا اسرارآمیز است.”
او در مقاله‌ای که در مجله اینترنتی +پلاس نوشته است چنین توضیح می‌دهد “یک بار با رایانه تمامی اعداد ۴ رقمی را امتحان کرد تا ببیند که آیا همه آن‌ها در چند مرحله محدود به ۶۱۷۴ ختم می‌شوند یا نه.”
حتما دوست دارید بدانید که چه نتیجه‌ای گرفت. همه اعداد چهار رقمی که همه رقم‌هایشان یکی نیست، با استفاده از روش کاپرکار در حداکثر ۷ مرحله به عدد ۶۱۷۴ منتهی می‌شوند.
آقای نیشی‌یاما می‌گوید “اگر بعد از هفت بار تکرار روش کاپرکار به عدد ۶۱۷۴ نرسیدید، قطعا در جایی اشتباه کرده‌اید و باید مجددا امتحان کنید!”
اعداد جادویی
شاید برایتان سوال باشد که چند تا از این “عددهای خاص” هست. راستش جواب درست این است که دقیقا نمی‌دانیم.
اما چیزی که می‌دانیم این است که در اعداد سه رقمی نیز پدیده‌ای شبیه ثابت کاپرکار وجود دارد.
بیایید پیدایش کنیم. در قدم اول یک عدد سه رقمی انتخاب می‌کنیم – مثلا ۵۷۴
۲۹۷ = ۴۵۷ – ۷۵۴
۶۹۳ = ۲۹۷ – ۹۷۲
۵۹۴ = ۳۶۹ – ۹۶۳
۴۹۵ = ۴۵۹ – ۹۵۴
۴۹۵ = ۴۵۹ – ۹۵۴
خب انگار پیدایش کردیم: “عدد جادویی” ما ۴۹۵ است.
ریاضیدانان می‌گویند که این ثابت‌ها فقط در اعداد سه یا چهار رقمی اتفاق می‌افتند، اما تا امروز فقط اعداد دو تا ده رقمی را امتحان کرده‌اند.
۶۱۷۴ به تکنی‌کالر
بنیاد فناوری سایگرم شرکتی هندی در جنوب مومبای است و ابزار جالبی برای آموزش فناوری اطلاعات در مدرسه‌های روستایی و عشایری طراحی کرده است: بازی با ارقام و رنگ با محوریت عدد ۶۱۷۴.
گیریش آرابالی، بنیان‌گذار این شرکت، به بی‌بی‌سی گفت ایجاد انگیزه در دانش‌آموزان یکی از علائق همیشگی او بوده است، مخصوصا بین آن دسته از دانش‌آموزانی که از ریاضی بدشان می‌آید. هدف او این بود که به آن‌ها نشان دهد که ریاضی می‌تواند عامل سرگرمی هم باشد.
او می‌گوید “ثابت کاپرکار واقعا زیباست. در انتهای مسیر یکی از آن لحظات نابی قرار دارد که انسان را به وجد می‌آورد. روش‌های تدریس سنتی ریاضی معمولا چنین حسی در شما ایجاد نمی‌کنند.”
همین شد که تیم آقای آرابالی تصمیم گرفت تعداد محاسبات لازم برای رسیدن به عدد ۶۱۷۴ را با استفاده از رنگ جدول‌بندی کند. همان‌طور که می‌دانید، محاسبات لازم برای رسیدن به این عدد “جادویی” هرگز بیشتر از هفت تا نمی‌شود.
این الگوریتم مبنای برنامه‌ای شد که به راحتی روی رزبری پای اجرا می‌شود. رزبری پای، یک رایانه ارزان است که ابعادی معادل کارت‌های بانکی دارد و در تدریس علوم، فناوری، مهندسی و ریاضی بسیار استفاده می‌شود.
دانش‌آموزان می‌توانند این برنامه را با استفاده از زبان برنامه‌نویسی ولفرم برای اجرا روی رزبری پای آماده کنند و هر یک از ۱۰ هزار عدد چهار رقمی موجود را بررسی کنند.
این کار به ایجاد الگوهایی رنگی بر اساس تعداد مراحل لازم برای رسیدن به عدد ۶۱۷۴ منجر می‌شود که می‌توان آن‌ها را روی شبکه‌ای چندرنگی به نمایش درآورد.
به نظر شما، اگر اعداد فرد را با رنگ آبی نشان دهیم و اعداد زوج را با رنگ سبز، با چه صحنه‌ای روبه‌رو می‌شویم؟
اگر اعداد اول را با رنگ سبز نمایش دهیم و بقیه اعداد را با رنگ آبی چه اتفاقی می‌افتد؟ آیا با رنگ‌بندی کاملا متفاوتی روبه‌رو خواهیم شد؟
به نظر آقای کاپرکار بازی با اعداد بهترین نوع سرگرمی بود و نقش او در ریاضیات تفریحی تنها به ثابت کاپرکار محدود نمی‌شود.
شاید چیزهایی درباره عدد کاپرکار هم شنیده باشید: عددی مثبت که مجذورش را می‌توان به دو بخش تقسیم کرد و حاصل جمع این دو بخش برابر همان عدد اصلی می‌شود.
به مثال زیر دقت کنید:
۸۸۲۰۹ = ۲۹۷ x ۲۹۷
۲۹۷ = ۲۰۹ + ۸۸
مثال‌های دیگری هم برای عدد کاپرکار وجود دارد: ۹، ۴۵، ۵۵، ۹۹، ۷۰۳، ۹۹۹، ۲۲۲۳، ۱۷۳۴۴، ۵۳۸۴۶۱…خودتان امتحان کنید و ببینید چه می‌شود.
یادتان باشد که وقتی می‌خواهید مجذور را به دو بخش تقسیم کنید، تعداد ارقام این دو بخش باید در صورت امکان مساوی باشد: عدد یک رقمی را با عدد یک رقمی جمع بزنید، عدد دو رقمی را با عدد دو رقمی…
اما اگر مجذور به دو بخش با تعداد ارقام مساوی تقسیم نمی‌شود، باید آن را به گونه‌ای تقسیم کنید که به یک عدد دو رقمی و یک عدد سه رقمی برسید. مثل مثال بالا.
به این کاری که شما می‌کنید می‌گویند عمل کاپرکار. شما هم حالا یک ریاضی‌دان تفریحی حرفه‌ای شده‌اید!
