چهارشنبه , ۷ اسفند ۱۳۹۸
صفحه اول » فرهنگ » انتگرال چیست و به چه درد می‌خورد؟

انتگرال چیست و به چه درد می‌خورد؟

پائیز سال ۱۳۹۸ اولین گروه از دانشجویانی که مفهوم انتگرال را در کتاب‌های درسی دبیرستان نخوانده بودند،‌ وارد دانشگاه‌های ایران شدند. بعضی از رسانه‌های ایران در ماه‌های اخیر از شکایت استادان دانشگاه‌ها از حذف مبحث انتگرال از کتاب‌های دبیرستان گزارش دادند، و اینکه چرا تدریس یک مفهوم اصولی ریاضیات باید در دانشگاه آغاز شود؟

در روزهای اخیر، سخنان علی ذوعلم رئیس سازمان پژوهش و برنامه ریزی آموزشی ایران، بار دیگر نام “انتگرال” را وارد رسانه‌ها کرد. او گفته است که “بچه ها باید در دانشگاه انتگرال بخوانند نه در مدرسه” و به گفته او دانش‌آموزان باید در مدرسه، مفاهیمی را یاد بگیرند که آنها را “برای زندگی” آماده کند. اما انتگرال چیست و به چه درد می‌خورد؟

حساب دیفرانسیل و انتگرال، یکی از مهمترین مفاهیم و البته کشفیات ریاضیات در تاریخ است، شاید بی‌راه نباشد که بگوییم، بیشتر پیشرفت‌های علمی بشر در حدود ۳۵۰ سال اخیر، به شکلی به حساب دیفرانسیل و انتگرال مربوط است.

اگر هندسه را علم مطالعه اشکال بدانیم، جبر را مطالعه اعداد و یافتن قوانین عمومی در حساب بدانیم، دیفرانسیل و انتگرال را هم می‌توان علم مطالعه حرکت مداوم اجسام دانست. هرجا حرکتی وجود داشته باشد، از حرکت مولکولی، تا حرکت سیارات، پای حساب دیفرانسیل و انتگرال وسط می‌آید. زندگی بدون حرکت، سرعت، افزایش، کاهش، و هرگونه تغییری مفهومی ندارد، و راه اندازه گیری و درک این حرکات، با حساب دیفرانسیل و انتگرال ممکن است.

انتگرال چیست؟

فرض کنید، می‌خواهید بدانید برای پر کردن یک استخر چقدر آب نیاز دارید. اگر عمق استخر شما ثابت باشد، یعنی بخش کم عمق و عمیق نداشته باشد، با ضرب طول و عرض و عمق، جواب سوالتان را پیدا می‌کند (مثل پیدا کردن حجم یک مکعب مربع). اما اگر کف استخر شما، با حالتی قوس دار از کم عمق به عمیق برود، آنوقت، محاسبه حجم دقیق آن با ضرب و تقسیم ممکن نیست. و بدون محاسبه هم ساختنش ایمن نیست، چون باید بدانید که چقدر آب قرار است در استخر باشد و چه وزنی خواهد داشت و چقدر باید کف و دیوارهای استخر را مقاوم کنید.

محاسبه حجم آب چنین استخری، تنها با انتگرال ممکن است. انتگرال اینطور کار می‌کند که استخر را به برش‌های نازکی تقسیم می‌کند. حجم هر برش، برابر است با طول (اینجا عمق استخر) ضرب در عرض (اینجا عرض استخر) و ضخامت برش (که بسیار کم است). با کم کردن ضخامت این برش‌ها؛ می‌توان استخر را به هزاران برش کوچک تقسیم کرد، حالا دیگر اندازه گرفتن حجم این برش‌های کوچک آسان است، و با جمع آنها با هم، حجم کل استخر به دست می‌آید.

اگر مثال استخر و تصویر بالا برایتان نامفهوم است، یک رول بزرگ کالباس را تجسم کنید. شبیه استوانه است و محاسبه حجم استوانه آسان است، اما سر و ته کالباس باریک می‌شود و شاید حتی شکل متقارنی هم نداشته باشد. برای محاسبه حجم این رول کالباس، کافی است آن را ورقه ورقه کنید. بعد حجم ورقه‌ها را اندازه بگیرید (هرکدام یک دایره است با ضخامت بسیار کم مثلا چند میلیمتر، مثل یک استوانه خیلی کم عمق) بعد حجم همه این ورقه‌ها را باهم جمع کنید. حاصل حجم کل رول کالباس شما است. انتگرال همین کار را می‌کند،‌ البته بدون نیاز به چاقو، فقط با قلم و کاغذ و البته این روزها کامپیوتر.

اگر علاقه دارید بیشتر درباره تاریخچه انتگرال و تولدش بدانید، به خواندن ادامه دهید.

داستان انتگرال در تاریخ ریاضیات، در آغاز با سوالی ساده شروع شد. چطور می‌شود شیب یک خط را اندازه گرفت؟

امروز شما می‌توانید به راحتی، شیب یک خیابان را اندازه بگیرید، کافی است بدانید که برای هر قدمی که به جلو بر می‌دارید، چقدر بالا می‌روید. مثلا اگر در یک خیابان، هر یک متر که جلو می‌روید، ارتفاعتان از سطح زمین نیم متر بالا برود، می‌توانید بگویید که شیب این خیابان نیم (یک دوم) است. در اینجا افزایش ارتفاع یعنی (نیم متر) را بر طول مسیری که پیموده‌اید (یک متر) تقسیم کرده‌ایم (البته چنین خیابانی در دنیای واقعی بیش از حد سر بالایی است!)

این مفهوم را اولین بار حدود ۳۷۰ سال پیش، رنه دکارت، ریاضی دان فرانسوی معرفی و فرمول بندی کرد. اما همان زمان، سوال مهمی مطرح شد، اگر خیابان شما، بجای یک خط صاف، یک منحنی باشد، شیب آن خیابان، نه در کل مسیر، که در نقطه‌ای که شما – مثلا در میانه خیابان – ایستاده‌اید چقدر است؟ تلاش برای یافتن پاسخ این سوال، در نهایت به کشف حساب دیفرانسیل و انتگرال و البته دعوای مشهور دو ریاضی‌دان، ایزاک نیوتون و گوتفرید ویلهلم لایبنیتس ختم شد.

تولد حسابان؛ پیوند حرکت، با جبر و هندسه

پیر دو فرما ریاضی‌دان دیگر فرانسوی همزمان با دکارت، ازجمله روی مفاهیم مشابهی – خط مماس و شیب خط – کار می‌کرد. اما سرانجام در سال ۱۶۸۴ میلادی (حدود ۳۴۰ سال پیش) گوتفرید ویلهلم لایبنیتس مقاله‌ای منتشر کرد که از آن به عنوان تولد حسابان (Calculus) یاد می‌شود. خلاصه عنوان طولانی این مقاله انقلابی،‌ چنین بود: “روشی جدید در محاسبه بیشینه (ماکزیمم) و کمینه (مینیمم) و خط مماس”. برای آنکه مقیاسی برای قدمت این مفهوم داشته باشید در نظر بگیرید که وقتی این مقاله منتشر شد، ایران در عصر صفویه و شاه سلیمان اول بر تخت پادشاهی بود.


ایزاک نیوتون (راست)، گوتفرید ویلهلم لایبنیتس (چپ)

لایبنیتس در این مقاله، موفق شده بود با روش‌های جبری، و با استفاده از مفهوم “اندازه بی‌نهایت کوچک” یا (Infinitesimal) شیب خط مماس بر یک منحنی را به صورت دقیق و به شکلی که به اصطلاح “مو لای درزش نمی‌رفت” محاسبه کند. او همچنین موفق شده بود، با تقسیم سطح زیر یک نمودار به قسمت‌های بی‌نهایت کوچک و جمع کردن آنها باهم، سطح زیر نمودار یک تابع را با دقت محاسبه کند. لایبنیتس همچنین دو مفهوم به ترتیب دیفرانسیل و انتگرال را با “قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال” به هم ارتباط داد و آن را نظام مند کرد.

البته انتشار این مقاله، نیوتون را به شدت عصبانی کرد، او ادعا می‌کرد که پیش از لایبنیتس، دیفرانسیل و انتگرال را کشف کرده است و حاصل تحقیقاتش دزدیده شده است. تحقیقاتی که در دوران مدرن انجام شده است، به این باور عمومی رسیده است که هر دو دانشمند، به صورت مستقل و همزمان ایده دیفرانسیل و انتگرال را کشف کرده‌اند، اما آنچه ما امروز استفاده می‌کنیم، روش نوشتن و نشانه‌های لایبنیتس است.

قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال، یکی از مهمترین مفاهیم ریاضی است که به زبان ساده، نشان می‌دهد، مشتق تابعی که سطح زیر یک نمودار را در یک بازه مشخص نشان می‌دهد، برابر با مقدار آن تابع در نقطه انتهایی تابع است و به این ترتیب رابطه‌ای میان دیفرنسیال و انتگرال ایجاد می‌کند.

در سال ۱۸۶۸، برنهارت ریمان ریاضی‌دان آلمانی، اولین مفهوم دقیق ریاضی انتگرال را ارائه کرد. در سال‌های بعد، مخصوصا در اوایل قرن بیستم، محاسبه انتگرال، پیشرفت‌های قابل توجهی یافت. برای نمونه هنری لبگ، روشی را برای انتگرال گیری از توابع غیر مشتق پذیر و منفی را معرفی کرد که یکی از سنگ بناهای حسابان تصادفی (Stochastic calculus) شد، که به توسعه فیزیک (با کارهای آلبرت انیشتین) و کارهای انقلابی کیوشی ایتو، ریاضی‌دان ژاپنی در توسعه علوم مالی کمک کرد.

انتگرال به چه درد زندگی می‌خورد؟

همانطور که علی ذوعلم رئیس سازمان پژوهش و برنامه ریزی آموزشی ایران گفته، انتگرال در زندگی روزمره به کار نمی‌اید. شما هرگز برای گذران زندگی خود نیازی به گرفتن انتگرال ندارید. و البته به بسیاری از مفاهیم حتی ساده‌تر هم که در کتاب‌های ریاضیات دوران راهنمایی یا بالاتر آمده نیازی ندارید. مثلا مفهوم بردار، یا حتی گرفتن جذر یک عدد، در زندگی روزمره آنچنان به کار نمی‌آیند.

حق نشر عکس Getty Images

در بسیاری از کشورهای غربی هم، دانش‌آموزانی که علاقه‌ای به ادامه تحصیل ندارند، یا کودکان و نوجوانانی که دچار کم‌توانی در یادگیری هستند، می‌توانند درسی با عنوان “ریاضیات برای زندگی” را انتخاب کنند که به محاسبات ساده برای زندگی روزمره محدود می‌شود.

اما آنچه در دوران دبیرستان و پیش دانشگاهی به عنوان ریاضیات تدریس می‌شود، مقدمه‌ای برای ورود به دانشگاه است. حساب دیفرانسیل و انتگرال، نشان می‌دهد که چطور حدود چهار قرن پیش، دانشمندانی با قلم و کاغذ، ایده‌های ساده هندسه و جبر را تلفیق کردند،‌ و ابزاری ساختند که با آن می‌توان سرعت حرکت سیارات را اندازه گرفت.

مرور کتاب‌های درسی کشورهای مختلف جهان و سوالات امتحانی پایان دبیرستان – که به سادگی در اینترنت در دسترس است – نشان می‌دهد که مفهوم دیفرانسیل و انتگرال، یکی از بخش‌های اصلی درس ریاضیات دبیرستان است، البته سطح دشواری در کشورهای مختلف جهان متفاوت است. بریتانیا، آمریکا و کانادا، به عنوان سه کشور عمده دانشجو پذیر، شناخته می‌شوند و در هر سه کشور حساب مقدماتی دیفرانسل و انتگرال جزو درس‌های دبیرستان وجود دارد. ژاپن یکی از توسعه یافته ترین کشورها از نظر آموزش ریاضیات در دبیرستان است. روسیه، کره جنوبی و به تازگی کشورهای شرق اروپا هم در سال‌های اخیر آموزش ریاضیات را توسعه داده‌اند و دانش‌آموزان این کشورها در رده بندی‌های جهانی در صدر فهرست مهارت‌های ریاضیات قرار دارند.

رئیس سازمان پژوهش و برنامه ریزی آموزشی ایران
علی ذوعلم

در دی ماه امسال، منصور واعظ پور مدیر انجمن ریاضی ایران، نامه‌های به رئیس شورای برنامه‌ریزی درسی ریاضی نوشت و خواستار توضیح دلیل حذف انتگرال از کتاب‌های درسی شد. پاسخ محمد رضا سید صالحی این بود که انتگرال در سرفصل‌های آموزش عالی (دانشگاه‌ها) وجود دارد و تدریس آن در دبیرستان لزومی ندارد.

با افزایش واکنش به حذف “انتگرال” از کتاب های ریاضی دبیرستانی ایران، علی ذوعلم رئیس سازمان پژوهش و برنامه‌ریزی آموزشی ایران، هدف از تغییرات ایجاد شده در کتاب های درسی را تامین دیدگاه های آیت الله خامنه‌ای معرفی کرد.

آقای ذوعلم در برنامه ای تلویزیونی با عنوان “نظام آموزشی و گام دوم انقلاب”، تغییرات جدید را مرتبط با تاکیدات رهبر در مورد “گام دوم انقلاب” دانست و در دفاع از “بحث حذف انتگرال از کتاب‌های ریاضی” گفت: “اگر بخواهیم همه مقدمات بارِ دانشیِ دانشگاه را بر دوش آموزش و پرورش بگذاریم، یک مانع برای پرداختن به مهارت های دیگر گذاشته‌ایم.” آقای خامنه ای سال پیش و در چهلمین سالگرد پیروزی انقلاب اسلامی، در بیانیه ای تحت عنوان “گام دوم انقلاب” به بیان اولویت های خود برای آینده پرداخته بود.

رئیس سازمان پژوهش و برنامه‌ریزی آموزشی در شامگاه جمعه ۱۸ بهمن، با اشاره به “گلایه” رهبر جمهوری اسلامی ایران از عملیاتی شدن کمتر از ۱۰ درصد “سند تحول بنیادین آموزش و پرورش” -که بخشی مهم از آن مربوط به تغییرات کتاب های درسی است- گفت: “علاوه بر انتگرال مباحث دیگری هم حذف شده اند. باید اینها کنار بروند تا جا برای مهارت و سبک زندگی باز بشود.”

حساب دیفرانسیل و انتگرال، یکی از مهمترین مفاهیم پایه ای علم ریاضیات است و منتقدان حذف آن از برنامه آموزش متوسطه معتقدند که این تغییر، سطح ریاضی دانش آموزان ایرانی در جهان را، که تاکنون در شرایط نسبتا مطلوبی قرار داشته، پایین می آورد

در ۲۲ دی ۹۷، در مراسم معارفه علی ذوعلم به عنوان معاون وزیر آموزش و پرورش و رئیس سازمان پژوهش و برنامه‌ریزی آموزشی ایران، علی اکبر رشاد عضو شورای عالی انقلاب فرهنگی گفت: “آقای ذوعلم با نظر وزیر آموزش و پرورش، رئیس جمهوری و رهبر معظم انقلاب انتخاب شدند.” روال انتخاب وزرای آموزش و پرورش با هماهنگی آقای خامنه ای، البته خبر جدیدی محسوب نمی شد؛ اما انتصاب یک معاون وزیر با نظر رهبر جمهوری اسلامی، به‌ویژه برای کسانی که نمی دانستند علی ذوعلم از مدیران دفتر رهبری است، تازگی داشت.

توضیح آنکه آقای ذوعلم در زمان انتصاب خود به ریاست سازمانی که مسئولیت تدوین کتاب‌های درسی را در ایران بر عهده دارد، معاون پژوهش و آموزش “دفتر حفظ و نشر آثار آیت الله خامنه ای” بود؛ اگرچه چند ماه پس از انتصاب علی ذوعلم به سمت جدید، محمد اسحاقی جانشین او در دفتر رهبری شد.

آقای ذوعلم از ۱۳۸۴ تاکنون، همواره از تصمیم گیران ارشد جمهوری اسلامی ایران در حیطه آموزش و پرورش بوده است. او که این روزها به عنوان مدافع اصلی حذف انتگرال هدف انتقادات کارشناسان قرار دارد، بعضا در رسانه ها با عنوان “دکتر” مورد اشاره قرار می گیرد و برخی منابع، او را دارای مدرک “دکترای کلام اسلامی” معرفی کرده اند.

تاکید رهبر بر تغییر سریع تر کتاب های درسی

اظهارات اخیر علی ذوعلم در مورد گلایه رهبر از سرعت پایین اجرای سند تحول بنیادین آموزش پرورش، به سخنرانی ۱۹ اردیبهشت ۹۷ آیت الله خامنه ای اشاره دارد که با اشاره به تحقق “کمتر از ۱۰ درصد” از این سند گفته بود: “خیلی کم کار شده در این زمینه؛ باید کار بشود.”

آقای خامنه ای در ۱۱ اردیبهشت ۹۸ هم سازمان پژوهش و برنامه‌ریزی آموزشی به ریاست آقای ذوعلم را “قلب آموزش و پرورش” دانسته و با ابراز نارضایتی از پیش بینی مقام های دولتی از تحول کامل متون درسی تا سال ۱۴۰۰ گفته بود: “متون آموزشی دوازده سال دیگر با سند تحوّل تطبیق پیدا کند؟ نه!… تلاش را، جدّیّت را بیشتر کنید.”

سند تحول بنیادین آموزش و پرورش، از جمله اسناد بالادستی نظام بود که به دستور مستقیم رهبر جمهوری اسلامی و در شورای عالی انقلاب فرهنگی تدوین شد. با ابلاغ سند تحول از سوی رهبر در اردیبهشت ۱۳۹۲، کار منطبق کردن کتاب های درسی با آن در دستورکار قرار گرفت و مکررا خبرساز شد.

فقط در هفته های اخیر، علاوه بر ماجرای حذف انتگرال، مجموعه ای از دیگر تغییرات کتاب های درسی برای انطباق با سند تحول، در سطح افکار عمومی جنجالی شده است.

یکی از این تغییرات مشهور، در حیطه آموزش زبان خارجی بوده که علی ذوعلم، همین هفته پیش در مورد آن گزارش داد. او در نشستی خبری در ۱۴ بهمن، درباره پیشنهاد آموزش زبان چینی در مدارس و “توسعه سبد انتخاب دانش آموزان در زبان های خارجی” گفت: “اکنون ۶ زبان در این سبد هست که دو زبان بین المللی در آن موجود نبود و اکنون پیشنهاد ما به شورای عالی آموزش و پرورش اضافه شدن زبان عربی و چینی به این سبد است.”

آیت الله خامنه ای پیشتر، به طور جداگانه بر ضرورت تغییر در برنامه آموزش زبان در مدارس ایران تاکید کرده بود. او مثلا در ۱۳ اردیبهشت ۹۵، با ابراز نگرانی از “اصرار بر ترویج انحصاری زبان انگلیسی” در مدارس گفته بود: “زبان علم فقط انگلیسی نیست… زبان های دیگر مثل اسپانیولی، فرانسه، آلمانی و [زبان] کشورهای شرقی هم زبان علمند”.

آقای ذوعلم در نشست خبری ۱۴ بهمن خود، همچنین با اعلام گنجاندن “ده عنوان از جنایت‌های آمریکا” در کتاب های درسی،”توطئه تفرقه بین مسلمانان، تفرقه شیعه و سنی، تفرقه بین حوزه و دانشگاه، تفرقه بین دولت و ملت از سوی آمریکا” و “ترور سردار سلیمانی” را از جمله این موارد دانست (او در ۱۶ دی هم از برنامه معرفی قاسم سلیمانی در دوره های ابتدایی و متوسطه “با رویکرد تحلیلی عمیق” خبر داده بود).

موضوع پرداختن بیشتر به “جنایت های آمریکا” در کتاب های درسی نیز، از مطالبات مشهور آقای خامنه ای در گذشته بود. او از جمله، در سخنانی در ۱۲ آبان ۱۳۹۵ با اشاره به اسناد “لانه جاسوسی” گفته بود: “چرا هیچ نشانی از این کتاب‌ها [اسناد] در مجموعه‌ مدارس، دبیرستان‌ها و دانشگاه‌های ما نیست؟ این یکی از اعتراض‌های من است.”

همزمانی اعلام تغییرات فوق با حذف بخش هایی از کتاب های تاریخ مدارس در مورد سوابق دخالت های روسیه در ایران، از دیگر موضوعاتی بود که در هفته گذشته، مورد توجه افکار عمومی قرار گرفت. البته علی ذوعلم در نشست خبری ۱۴ بهمن، در پاسخ به اشارات برخی خبرنگاران به حذف این بخش ها، که عمدتا به تاریخچه جنگ های ایران و روسیه در دوران قاجار مربوط می شد، گفت که به موضوع رسیدگی خواهد کرد.

هنوز مشخص نیست که آیا وعده رسیدگی او، در عمل ممکن است منجر به بازگشت بخش های مرتبط با دخالت روسیه به کتاب های تاریخ مدارس شود یا نه.

درنهایت، تمام این واکنش‌ها در شرایطی صورت می گرفت که در آغاز سال تحصیلی جاری، ماجرای حذف بخشی از معروف ترین آثار ادبیات کهن و معاصر فارسی از کتاب های درسی و در مقابل، اضافه شدن آثاری از نویسندگان و شاعران نزدیک به حکومت، موجی از واکنش را در سطح رسانه های ایران ایجاد کرده بود.

در ۱۲ آبان ۹۸ حسین قاسم‌پور مقدم، یکی از مدیران آقای ذوعلم که مسئولیت گروه تألیف کتب درسی ادبیات فارسی را در سازمان پژوهش و برنامه‌ریزی آموزشی بر عهده دارد، در مورد حذف آثار چهره های ادبیات ایران توضیحاتی داد که به نوبه خود، ابهامات بیشتری را ایجاد کرد.

او گفت که تغییرات مورد بحث در راستای مندرجات سند تحول بنیادین آموزش و پرورش، سند برنامه درسی ملی و “بررسی نیازها، خواسته‌ها و سلایق افراد و نهادها” بوده است، ولی در مورد این “افراد و نهادها” توضیح بیشتری نداد.

او حتی با اشاره به اهمیت سرگذشت محسن حججی، که در مرداد ۹۶ به دست نیروهای داعش در سوریه به قتل رسید، تاکید کرد: “جایی نیاز داشتیم شهید محسن حججی را مطرح کنیم و این، بر حافظ و سعدی اولویت داشت.”